20031 难度：3

（理）已知数列{a_n}各项均为正数，满足13+23+…+n3=(

(n+1)an

2

)2．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

20032 难度：3

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为an=3n-1，数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-6
（1）若cn=

1

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n及

lim

n→∞

Tn的值；
（2）若en=

1

(bn+5)(bn+7)

，数列{e_n}的前n项和为E_n，求E₁，E₂，E₃的值，根据计算结果猜测E_n关于n的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）对任意正整数n，若(Sn+

1

2

)t＞bn+n恒成立，求t的取值范围．

20033 难度：3

在数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=-

2

3

，满足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)．
（1）求S₁、S₂、S₃并猜想S_n表达式；
（2）试用数学归纳法证明你的猜想．

20034 难度：3

已知函数f(x)=

2

2-x

，记数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=f（1）．当n≥2时，Sn-

2

f(an)

=

1

2

(n2+5n-2)．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）请归纳猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

20035 难度：3

已知函数f1(x)=sin

x

2

，x∈R，记f_n+1（x）为f_n（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x），n∈N^*的表达式，并证明你的猜想．

20036 难度：3

（Ⅰ）已知a为实数，用分析法证明

a+7

-

a+5

＞

a+8

-

a+6

．
（Ⅱ）用数学归纳法证明12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)；

20037 难度：3

已知函数f(x)=

x

(1-

lnx

2

)．
（Ⅰ）求f（x）极大值；
（Ⅱ）求证：ln2+ln3+…+lnn＞2(

n

-1)2，其中n∈N₊，n≥2．
（Ⅲ）若方程f（x）=t有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁+x₂＞2

20038 难度：3

设i为虚数单位，θ∈[0，2π）．
已知（cosθ+isinθ）²=cos2θ+isin2θ，
（cosθ+isinθ）³=cos3θ+isin3θ，
（cosθ+isinθ）⁴=cos4θ+isin4θ．
（1）你能得到什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想；
（2）已知z=

3

+i，试利用（1）的结论求z¹⁰．

20039 难度：3

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁，a₂，a₃是(

x

+

1

2 4 x

)m展开式的前三项的系数．
（1）求m的值；
（2）求(1+

1

2

x)m展开式的中间项；
（3）当n≥2时，用数学归纳法证明：

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

＞

1

3

．

20040 难度：3

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，前n项和S_n满足4Sn=(an+1)2(n∈N*)，
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值
（Ⅱ）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．