在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

n+2

n

a_n+1（n∈N*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n≥1，且4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．

统计学中将n（n≥2，n∈N^*）个数x₁、x₂、…、x_n的和记作

n

i=1

xi，
（1）设b_n=|3n-13|（n∈N^*），求

10

i=1

bi；
（2）是否存在互不相等的非负整数a₁，a₂，a₃，…，a_n，0≤a₁＜a₂＜a₃…＜a_n，使得

n

i=1

2ai=2019成立，若存在，请写出推理过程；若不存在请证明；
（3）设x₁，x₂，x₃，…，x_n（n≥3）是不同的正实数，x₁=a，对任意的n∈N^*（n≥3），都有

x1

x2

n=1

i=1

x 2 n

xixi+1

=

x 2 n - x 2 1

x 2 2 - x 2 1

，判断x₁，x₂，x₃，…，x_n是否为一个等比数列，请说明理由

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足an=Sn+

1

Sn

-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+3x-

1

3

．
（1）计算f（0）+f（2）、f（-1）+f（3）、f（

1

2

）+f（

3

2

）的值；
（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数f（x）的一般结论，并证明这个结论；
（3）若实数x₀满足f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

已知数列{a_n}满足：a₁=2，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N*．
（1）求证：数列{

an

n

}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

2

(n+1)an

（n∈N*），用数学归纳法证明：b₁+b₂+…+b_n＜1-

1

(n+1)2

，n∈N*．

已知数列{a_n}满足：a₁=

5

2

，且a_n+1=a_n²-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜测通项公式a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜测．

已知函数f（x）=x²-x+1，记f₁（x）=f（x），当n≥2时，f_n（x）=f_n-1f（f（x））．
（1）求证：f₂（x）在（1，+∞）上为增函数；
（2）对于任意n∈N*，判断f_n（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

已知数列{a_n}各项均为正数，a1=

1

2

，an+1=man-

a

2 n

，n∈N*．
（1）若m=2，
①求a₂，a₃，a₄的值：
②猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若m=1，证明：当n≥2时，an≤

1

n+2

．

已知数列

1

1

，

1

1+2

，

1

1+2+3

，…+

1

1+2+3+…+n

，其前n项和为S_n；
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．