已知函数f（n）=-1+3-5+…+（-1）ⁿ•（2n-1），（n∈N^*）．
（1）求f（n+1）-f（n）；
（2）用数学归纳法证明f（n）=（-1）ⁿ•n．

记[x]^r=x（x+1）…（x+r-1），x∈R，r∈N₊，并规定[x]⁰=1，
（1）分别求[3]²，[-3]²的值；
（2）证明：[a+b]^r=

r

k=0

C

k r

[a]^r-k[b]^k，a，b∈R，r∈N₊．

是否存在正整数m，使得对任意正整数n，f（n）=（2n+7）•3ⁿ+m都能被36整除？若存在，求出m的最小值，并用数学归纳法证明你的结论：若不存在，请说明理由

（1）填空：C

m n-1

+C

m+1 n+1

=C

n m

及

m

n

C

m n

=C

m+1 y

（n≥2，n∈N*，m∈N*）．则x=__________y=__________（结果用m，n表示）
（2）已知f（n）=

1

2

C

0 n

-

1

3

C

1 n

+

1

4

C

2 n

+……+（-1）ⁿ

1

n+2

C

n n

，n∈N*．猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论．

函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0，e≈2.71828…）．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求证：n∈N，n≥2时，n＞e

1

2

+

1

3

+

1

4

+……+

1

n

．

观察以下等式：
1³=1²
1³+2³=（1+2）²
1³+2³+3³=（1+2+3）²
1³+2³+3³+4=（1+2+3+4）²
（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=n³+n，求S₁₀．

（1）用分析法证明：

3

+

7

＜2

5

；
（2）用数学归纳法证明：1×4+2×7+…+n（3n+1）=n（n+1）²，（n∈N^*）

对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k（k∈N*，且k≥3）位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k+1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k+m位（其中m≥3且m∈N*），则称子串“010”在第k+m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f（n）．
（1）求f（3），f（4）的值；
（2）求证：对任意的正整数n，f（4n+1）是3的倍数．

已知数列{a_n}满足：na_n+1=（n+2）（a_n-1），且a₁=6=（1+1）（2×1+1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

已知数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

3an

6-an

．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论．