用数学归纳法证明：1+2+3+4+…+（2n+1）＞2n²+3n，在验证n=1时不等式成立时，不等式的左边的式子是__________．

用数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ=

1-an+1

1-a

，a≠1，n∈N^*”，在验证n=1时，左边是__________．

用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1时左边表达式是，从k→k+1需要添的项是__________．

用数学归纳法证明不等式1+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

＞

127

64

成立，起始值应取为n=__________．

已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…-

1

n

=2（

1

n+2

+

1

n+4

+…+

1

2n

）时，若已假设n=k（k≥2且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设再证n=__________时等式成立．

用数学归纳法说明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n(n＞1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是__________项．

用数学归纳法证明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n（n∈N^*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）时，第一步应验证的不等式是__________．

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞

n

2

时，f（2^k+1）-f（2^k）等于__________．

某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N）时该命题成立，则可得n=k+1时该命题也成立，若已知n=5时命题不成立，则下列说法正确的是__________（填序号）
（1）n=4时，该命题不成立；
（2）n=6时，该命题不成立；
（3）n=1时，该命题可能成立；
（4）n=6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n=6时命题成立，则对任意n≥6，该命题都成立．

一个与自然数有关的命题，若n=k（k∈N）时命题成立可以推出n=k+1时命题也成立．现已知n=10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__________（填上所有正确命题的序号）
①n=11时，该命题一定不成立；
②n=11时，该命题一定成立；
③n=1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n=n₀时，该命题成立．