19871 难度：3

观察sin210°+cos240°+sin10°cos40°=

3

4

；sin26°+cos236°+sin6°cos36°=

3

4

．
（1）用类比的方法猜想一个一般性的结论；
（2）证明你的猜想．

19872 难度：3

用综合法或分析法证明：
（1）如果a＞0，b＞0，则lg

a+b

2

≥

lga+lgb

2

（2）求证

6

+

7

＞2

2

+

5

．

19873 难度：3

△ABC中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于

3

．

19874 难度：3

（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴
（2）设a，b，c为△ABC的三条边，求证（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）

19875 难度：3

已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

19876 难度：3

已知m＞0，a，b∈R，求证：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

19877 难度：3

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}是首项为1，公比为-

2

3

的等比数列，T_n是{b_n}的前n项和，问是否存在常数a，使a₁₀•T_n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

19878 难度：3

已知f（x）=log₂

1-x

1+x

 （-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求证：a+b=0；
（2）设f(

1

2

)+f(

1

3

)=f(x0)，求x₀的值；
（3）设x₁、x₂∈（-1，1），是否存在x₃∈（-1，1），使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

19879 难度：3

设a、b∈R⁺且a+b=3，求证

1+a

+

1+b

≤

10

．

19880 难度：3

求证：函数f(x)=-

1

x

+1在区间（0，+∞）上是单调增函数．