设函数f（x）=x（9-x），对于任意给定的m位自然数n₀=

amam-1…a2a1

（其中a₁是个位数字，a₂是十位数字，…），定义变换A：A（n₀）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）．并规定A（0）=0．记n₁=A（n₀），n₂=A（n₁），…，n_k=A（n_k-1），…．
（Ⅰ）若n₀=2015，求n₂₀₁₅；
（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N^*）位自然数n均有A（n）＜10^m-1；
（Ⅲ）如果n₀＜10^m（m∈N^*，m≥3），写出n_m的所有可能取值．（只需写出结论）

有以下三个不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；
（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；
（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．

观察下表，回答下列问题：
（1）写出表格中a、b的值；

序号	1	2	3	…
图形				…
◎的个数	8	a	24	…
☆的个数	1	4	b	…

（2）试求第几个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等？说明理由．

我们已经学过了等差数列，你是否想到过有没有等和数列呢？
（1）类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
（2）探索等和数列{a_n}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．

如图是一个扇环（圆环的一部分），两段圆弧的长分别为l₁，l₂，另外两边的长为h，先把这个扇环与梯形类比，然后根据梯形的面积公式写出这个扇环的面积并证明其正确性．参考公式：
扇形面积公式S=

1

2

lr（l是扇形的弧长，r是扇形半径）．
弧长公式l=rα（r是扇形半径，α是扇形的圆心角）．

圆具有性质：设M、N是圆C：x²+y²=r²关于原点对称的两个点，P是圆C上任意一点，直线PM，PN的斜率k_PM，k_PN存在，则k_PM•k_PN=-1，类比上述性质，在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1中，写出相类似的性质，并给出证明．

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD．求证：AB∥CD．

下面的（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图．
（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表（按填好的例子做）．

	顶点数	边数	区域数
（a）	4	6	3
（b）
（c）
（d）

（2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
（3）现已知某个平面图有2014个顶点，且围成了2014个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

+

1

1 3 f(3)+7

+…+

1

1 3 f(n)+2n+1

＜

25

36

（n∈N^*）．

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．

（Ⅰ）求出f（5）；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．