将1到n的n个正整数按下面的方法排成一个排列，要求：除左边的第一个数外，每个数都与它左边（未必相邻）的某个数相差1，将此种排列称为“n排列”．比如“2排列”为n=2时，有1，2；和2，1；共2种排列．“3排列”为当n=3时，有1，2，3；2，1，3；2，3，1；3，2，1；共4种排列．
（1）请写出“4排列”的排列数；
（2）问所有“n排列”的结尾数只能是什么数？请加以证明；
（3）证明：“n排列”共有2^n-1个．

观察下列式子：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

1

42

＜

7

4

，
（1）由此猜想一个一般性的结论，
（2）请证明你的结论．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-30°）+cos²60°-sin（-30°）cos60°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广到一个三角恒等式，并证明你的结论．

已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x₁，x₂是关于x方程x²+bx+c=0的根，则x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c．
（Ⅰ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程（x-1）（x²-3x-4）=0的根，求x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程x³+bx²+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃与系数的关系，并加以证明．

已知a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，计算a₂，a₃，然后猜想a_n．

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄与b₂，b₃，b₄的值；
（2）猜想数列{a_n}，{b_n}的通项公式（不需要证明）．

（1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学
过：

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

99×100

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

99

-

1

100

）=1-

1

100

=

99

100

请用上面的数学思维来证明如下：

1

sin2x

+

1

sin4x

+

1

sin8x

+

1

sin16x

+

1

sin32x

=cotx-cot32x（注意：cotx=

cosx

sinx

）
（2）当0＜x＜

π

2

时，且

sin8x-sinx

sinxsin8x

=

sin4x+sin2x

sin2xsin4x

，求x的值．

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a．f₁（x）+b．f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的线性函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x），的线性函数？并说明理由；
第一组：f₁（x）=lg

x

10

，f₂（x）=lg10x，h（x）=lgx，；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）设f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log

1

2

x，a=2，b=1，线性函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥

1

2

；
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2x+a₁²+a₂²，
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而a₁²+a₂²≥

1

2

．
（1）已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；
（3）若

1-x

+

2-y

+

3-z

=1，求x+y+z的最大值．

已知集合S={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n≥3），集合T⊆{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且满足：∀a_i，a_j∈S（i，j=1，2，3，…，n，i≠j），（a_i，a_j）∈T与（a_j，a_i）∈T恰有一个成立．对于T定义d_T（a，b）=

1，(a，b)∈T 0，(b，a)∈T

l_T（a_i）=d_T（a_i，a₁）+d_T（a_i，a₂）+…+d_T（a_i，a_i-1）+d_T（a_i，a_i+1）+…+d_T（a_i，a_n）（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若n=4，（a₁，a₂），（a₃，a₂），（a₂，a₄）∈T，求l_T（a₂）的值及l_T（a₄）的最大值；
（Ⅱ）从l_T（a₁），l_T（a₂），…，l_T（a_n）中任意删去两个数，记剩下的n-2个数的和为M．求证：M≥

1

2

n（n-5）+3；
（Ⅲ）对于满足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e，f，g，使得d_T（e，f）+d_T（f，g）+d_T（g，e）=3恒成立，并说明理由．