若函数f（x）=sinⁿxsinnx+cosⁿxcosnx-cosⁿ2x，对任意x∈R都使f（x）为常数，则正整数n为__________．

边长为x的正方形的面积S（x）=x²，周长C（x）=4x，若将x看作（0，+∞）上的变量，则有S′（x）=

1

2

C（x）．对于棱长为x的正方体，其体积V（x），表面积S（x），若将x看作（0，+∞）上的变量，请针对体积与表面积写出类似的关系式：__________．

设n，k都是正整数，A₁=

(n+3)(n-1)+4

，A₂=

(n+5)A1+4

，A₃=

(n+7)A2+4

，…，A_k=

(n+2k+1)Ak-1+4

，…．若A₁₀₀=300，则n=__________．

（1）求证：cotα=tanα+2cot2α；
（2）请利用（1）的结论证明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：
（4）化简：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b=1，求

2a+1

+

2b+1

的最大值．
解：∵

2a+1

•

2

≤

( 2a+1 )2+ 2 2

2

=a+

3

2

，

2b+1

•

2

≤

2b+1 2+ 2 2

2

=b+

3

2

，
相加得

2a+1

•

2

+

2b+1

•

2

=

2

•（

2a+1

+

2b+1

）≤a+b+3=4，
∴

2a+1

+

2b+1

≤2

2

，等号在a=b=

1

2

时取得，即

2a+1

+

2b+1

的最大值为2

2

．
请类比以上解题法，使用综合法证明下题：
已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

的最大值．

若数对（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N^*），对于∀m∈Z，∃x，y∈Z，使m=xa+yb成立，则称数对（a，b）为全体整数的一个基底，（x，y）称为m以（a，b）为基底的坐标；
（Ⅰ）给出以下六组数对（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），写出可以作为全体整数基底的数对；
（Ⅱ）若（a，b）是全体整数的一个基底，对于∀m∈Z，m以（a，b）为基底的坐标（x，y）有多少个？并说明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全体整数的一个基底，试写出m的所有值，并说明理由．

设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x^*]上单调递增，在[x^*，1]上单调递减，则称x^*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）
对于不易直接求出峰点x^*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x^*的近似值．试验原理为：“对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间，此时称x₁为近似峰点；若f（x₁）＜f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间，此时称x₂为近似峰点”．
我们把近似峰点与x^*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x₁，x₂-x₁}，max{x₂-x₁，1-x₂}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．
（Ⅰ）若x₁=

1

4

，x₂=

1

2

．求此试验的预计误差d．
（Ⅱ）如何选取x₁、x₂，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x₁的取值即可）
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，可以确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1）．在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x₁=

1

4

和x₁=

2

5

时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）

我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a_n}、{b_n}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是S_n，T_n，则

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

（1）请你证明上述命题；
（2）请你就数列{a_n}、{b_n}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
sin²45°+cos²75°+sin45°cos75°，sin²36°+cos²66°+sin36°cos66°．
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°，sin²（-15°）+cos²15°+sin²（-15°）cos15°，
sin²（-45°）+cos²（-15°）+sin（-45°）cos（-15°）．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

杨辉三角中蕴含许多性质，如在图1中C_n^k=C_n-1^k-1+C_n-1^k（n，k∈N^*，k≤n-1），规定C₀⁰=1，斐波那契数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），杨辉三角形及斐波那契数列有密切联系，依次计算图2的杨辉三角中每条斜线上的数字之和，可得下列等式：C₀⁰=a₁，C₁⁰=a₂，C₂⁰+C₁¹=a₃，C₃⁰+C₂¹=a₄，C₄⁰+C₃¹+C₂²=a₅，…

（Ⅰ）依此规律，写出第6个和第7个等式；
（Ⅱ）猜想第2n个和第2n+1（n∈N^*）个等式，并证明你的结论．