设a，b∈R⁺，a+b=1．
（1）证明：ab+

1

ab

≥4+

1

4

=4

1

4

；
（2）探索、猜想，将结果填在括号内；
a²b²+

1

a2b2

≥（__________）；
a³b³+

1

a3b3

≥（__________）；
（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．

已知下列三个正确的结论：
①在△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立
②在四边形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立
③在五边形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立．
（1）猜想在n边形A₁，A₂，…A_n中，有怎样的不等式成立？
（2）证明：在△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立．

三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题：
（1）计算：

cos2°

sin47°

+

cos88°

sin133°

=__________；

cos5°

sin50°

+

cos85°

sin130°

=__________；

cos12°

sin57°

+

cos78°

sin123°

=__________．
（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：__________．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）

设M是含有n个正整数的集合，如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和，则称集合M是n级好集合，
（Ⅰ）判断集合{1，3，4，7，9}是否是5级好集合，并写出另外一个5级好集合，满足其最大元素不超过9；
（Ⅱ）给定正整数a，设集合M={a，a+1，a+2，…a+k}是好集合，其中k为正整数，试求k的最大值，并说明理由；
（Ⅲ）对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）试从上述三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+cosB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

已知数列{a_n}的第一项a₁=1，且an+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…），试归纳出这个数列的通项公式．

将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值

a

b

，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足aij=

i+(j-i-1)n，i＜j i+(n-i+j-1)n，i≥j

请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证：λ≤

n+1

n

．

已知数列{a_n}的前n项和为S，a₁=3，满足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式．