定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=

1

2

+

1

3

+

1

6

，1=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

12

，1=

1

2

+

1

5

+

1

6

+

1

12

+

1

20

，依此类推可得：1=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

m

+

1

n

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+

1

132

+

1

156

，其中m≤n，m，n∈N*，则m+n=__________．

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10…，第n个三角形数为

n2+n

2

，记第n个k边行数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式
三角形数；N=（n，3）=

1

2

n²+

1

2

n，正方形数：N=（n，4）=

2

2

n²+0n，五边形数：N=（n，5）=

3

2

n²-

1

2

n，六边形数；N（n，6）=

4

2

n²-

2

2

n…由此推测N（8，8）=__________．

将正整数排成如图，其中第i行第j列（按照从左到右的顺序）的那个数记为a（i，j），则数表中的2017应记为__________．

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”此文阐述求两个数的最大公约数的重要方法“更相减损术”．艾学习同学在使用“更相减损术”求588与315的最大公约数时，计算过程第二步不小心破损导致过程不完整，“（588，315）→（•，315）→（273，42）→…”艾学习同学计算过程中破损处应填写__________．

已知空间整数点的序列如下：（1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（1，1，3）（1，3，1）（3，1，1）（1，2，2）（2，1，2）（2，2，1）（1，1，4）（1，4，1）（4，1，1）（1，2，3）（1，3，2）…，则（4，2，1）是这个序列中的第__________个．

给出以下数对序列：
（2，2）
（2，4）（4，2）
（2，6）（4，4）（6，2）
（2，8）（4，6）（6，4）（8，2）
…
记第i行的第j个数对为a_ij，如a₄₃=（6，4），则a_ij=__________．

把正整数按下表的规律排列，则第n行、第n+1列的数应为__________．

在实数R中定义一种新运算：@，对实数a，b经过运算a@b后是一个确定的唯一的实数．@运算有如下性质：（1）对任意实数a，a@0=a；（2）对任意实数a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：关于函数f（x）=e^x@

1

ex

的性质下列说法正确的是：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）是偶函数；③函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，这三种说法正确的有__________．

观察下列等式
（1）sin

2π

3

+sin

4π

3

=0
（2）sin

2π

5

+sin

4π

5

+sin

6π

5

+sin

8π

5

=0
（3）sin

2π

7

+sin

4π

7

+sin

6π

7

+sin

8π

7

+sin

10π

7

+sin

12π

7

=0
…
由以上规律推测，第n个等式为__________．

将三项式（x²+x+1）ⁿ展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：

（x²+x+1）⁰=1
（x²+x+1）¹=x²+x+1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x²+x+1）⁵的展开式中，x⁸项的系数为75，则实数a的值为__________．