设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为

2

3

．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．

如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角E-BD-F的余弦值为

1

3

，求线段CF的长．

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为

5

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|=|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

设{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列．已知a₁=4，b₁=6，b₂=2a₂-2，b₃=2a₃+4．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c₁=1，c_n=

1，2k＜n＜2k+1， bk，n=2k，

其中k∈N^*．
（i）求数列{a2n（c2n-1）}的通项公式；
（ii）求

2n

i=1

a_ic_i（n∈N^*）．

设函数f（x）=e^xcosx，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，证明f（x）+g（x）（

π

2

-x）≥0；
（Ⅲ）设x_n为函数u（x）=f（x）-1在区间（2nπ+

π

4

，2nπ+

π

2

）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+

π

2

-x_n＜

e-2nπ

sinx0-cosx0

．

若∫

1 0

(a-x2)dx=

5

3

，则a=__________．

若∫

1 -1

(a-x2)dx=

4

3

，则a=__________

由曲线y=-x²+2x与直线y=x围成的封闭图形的面积为__________．

二项式（ax-1）⁵（a＞0）的展开式的第四项的系数为-40，则

∫

a -1

x2dx的值为__________．

由x的正半轴、y=x²和x=4所围成的封闭图形的面积是__________