设a，b∈R，已知函数f（x）=alnx，g（x）=x²+bx+b．
（1）设F(x)=

xf(x)

a2

，求F（x）在[a，2a]上的最大值M（a）；
（2）设G（x）=f（x）+g（x），若G（x）的极大值恒小于0，求证：a+b≤e⁴．

已知函数f（x）=x-alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）=

1

2

x2-ax-f（x）的零点个数；
（Ⅲ）当a=1时，求证不等式f（x）≤

x-1

x

解集为空集．

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，在线段AB上取一点M，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B恰好落在矩形的左边AD边上．设折痕所在直线与BC交于N点，记折痕MN的长度为l，翻折角∠BNM为θ．
（1）探求l与θ的函数关系，推导出用θ表示l的函数表达式；
（2）设BM的长为xcm，求x的取值范围；
（3）确定点M在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．

已知函数f（x）=（x-2）lnx+ax-1．
（1）函数f（x）的图象与x轴相切，求实数a的值；
（2）设x₀是函效f（x）的极值点，若f（x）存在两个零点，证明x₀＞1并求a的取值范围

已知x=1是函数f（x）=ax²+

x

2

-xlnx的极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）存在唯一的极小值点x₀，且0＜f（x₀）＜

7

16

．（参考数据：ln2≈0.69，其中e为自然对数的底数）

已知二次函数f（x）的图象过原点，满足f（x-2）=f（-x）（x∈R），其导函数的图象经过点（0，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=a^x+a-5（a＞0且a≠1），若存在x₁∈[-3，0]，使得对任意x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），求实数a的取值范围．

己知函数f（x）=alnx-（x-2）e^x，a∈R．
（1）当a≥0时，讨论f（x）的导函数f′（x）在区间（1，+∞）上零点的个数；
（2）当a=-1，x∈（0，1]时，函数f（x）的图象恒在y=-x+m图象上方，求正整数m的最大值．

定积分

∫

2 -2

(

4-x2

-sinx+x3)dx的值是（　　）

a=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx，则(a

x

-

1

x

)6的展开式中x²的系数是（　　）

设a＞1，若曲线y=

1

x

与直线x=1，x=a，y=0所围成封闭图形的面积为2，则a=（　　）