在数学研究中，函数的变化率是研究的重点对象之一，定义

f(x)+f(a)

|x-a|

为函数f（x）对实数x=a的平均定向增长率．已知某物体离开初始位置的距离f（x）与时间x的函数关系式为f（x）=

x2+2x+4，x≥2 37-18x，x＜2

求该物体离开初始位置的距离对x=2的平均定向增长率的最小值．

已知质点M按规律s=2t²+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）．
（1）当t=2，△t=0.01时，求

△s

△t

；   
（2））当t=2，△t=0.001时，求

△s

△t

；   
（3）当质点M在t=2时的瞬时速度．

一个质量为3kg的物体沿南北方向的道路（向北的方向为正方向）做直线运动，物体的位置s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）=t-6t表示，并且物体的动能E_k=

1

2

mv²（单位：焦耳）
（1）求瞬时速度v（单位：m/s）在t（单位：s）时刻的表达式；
（2）求物体开始运动后第5s时的动能．

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
（1）已知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

求下列函数的导数．
（1）y=

1+cosx

1-cosx

（2）y=（sinx-cosx）
（3）y=x³+3x²-1．

设f_n（x）=x+x²+…+xⁿ-1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求f_n′（2）；
（Ⅱ）证明：f_n（x）在（0，

2

3

）内有且仅有一个零点（记为a_n），且0＜a_n-

1

2

＜

1

3

（

2

3

）ⁿ．

已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设关于x的函数f（x）=（a₁+1）x+（a₂+1）x²+…+（a_n+1）xⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导致f′（1）的值．

已知函数f（x）=xlnx+2xf′（1），试比较f（e）与f（1）的大小关系．

设函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²的周期和对称轴；
（Ⅱ）若h（x）=（f（x）-sinx）cos（x-

π

3

），求使h（x）＞

1+ 3

4

成立的x的取值集合．

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有a+b＞c．由正弦定理得sinA+sinB＞sinC．由导数公式：（sinx）′=cosx，可以得到结论：对任意△ABC有cosA+cosB＞cosC．上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误．