已知向量

a

=（1，5，-1），

b

=（-2，3，5）．
（1）若（k

a

+

b

）∥（

a

-3

b

），求实数k；
（2）若（k

a

+

b

）⊥（

a

-3

b

），求实数k．

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．若|

a

|=

3

，且

a

分别与

AB

、

AC

垂直，求向量

a

．

已知

a

=（1，-1，

2

）
（Ⅰ）求与

a

方向相同的单位向量

b

；
（Ⅱ）若

a

与单位向量

c

=（0，m，n）垂直，求m，n．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是 BB₁，CD的中点，
（1）求证：

D1F

⊥

AE

；
（2）求＜

EF

，

CB1

＞．

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）求

a

和

b

的夹角的余弦值；
（2）若向量k

a

+

b

与k

a

-2

b

互相垂直，求实数k的值．

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为

8

3

．
（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；    
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的大小．

（理科）在空间中
（I）已知三点A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面积；
（Ⅱ）已知向量

a

=（2，-1，3），

b

=（-1，4，-2），

c

=（7，5，λ），若向量

a

，

b

，

c

共面，求实数λ之值．