19051 难度：3

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．
（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B-PC-A的正切值．

19052 难度：3

已知空间三点A（-1，2，1），B（1，2，1），C（-1，6，4）
（1）求以向量

AB

，

AC

为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量

a

分别与向量

AB

，

AC

垂直，且|

a

|=10，求向量

a

的坐标．

19053 难度：3

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与平面A₁BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．

19054 难度：3

如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁D₁，A₁B₁，D₁C₁，B₁C₁的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．

19055 难度：3

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=

5

5

？若不存在，请说明理由；若存在，求出FM的长度．

19056 难度：3

已知点A（-2，0，2）、B（-1，1，2）、C（-3，0，4），

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）若|

c

|=3，且

c

∥

BC

，求

c

；
（2）求cos＜

a

，

b

＞；
（3）若k

a

+

b

与k

a

-2

b

垂直，求k．

19057 难度：3

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

19058 难度：3

已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：
（1）点C与平面β：__________．
（2）点A与平面α：__________．
（3）直线AB与平面α：__________．
（4）直线CD与平面α：__________．
（5）平面α与平面β：__________．

19059 难度：3

如图，点D，E分别是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AB，B₁C₁的中点，记

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AA1

=

c

．
（1）用向量

a

，

b

，

c

表示向量

DE

；
（2）已知向量

m

是平面ACC₁A₁的一个法向量，利用

m

与

DE

的关系，证明：DE∥平面ACC₁A₁．

19060 难度：3

在边长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．