如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，

BD

=λ

BN

．若MN⊥AD，则实数λ=__________．

给出下列命题：
①直线l的方向向量为

a

=（1，-1，2），直线m的方向向量

b

=（2，1，-

1

2

），则l与m垂直；
②直线l的方向向量

a

=（0，1，-1），平面α的法向量

n

=（1，-1，-1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为

n1

=（0，1，3），

n2

=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量

n

=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）

已知

a

=（2，-1，2），

b

=（-4，2，x），且

a

∥

b

，则x=__________．

在空间直角坐标系O-xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，2），点P满足

AP

=λ

AC

．
（1）求点P的坐标（用λ表示）；
（2）若OP⊥BC，求λ的值．

已知向量

AB

=（4，3），

AD

=（-3，-1），点A（-1，-2）．
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点P（2，y）满足

PB

=λ

BD

（λ∈R），求y与λ的值．

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量

a

=（x₁，y₁z₁），

b

=(x2y2z2)，

c

=(x3y3z3)，定义一种运算：(

a

×

b

)•

c

=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算（

AB

×

AD

）•

AP

的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（

AB

×

AD

）•

AP

的绝对值的几何意义．

已知空间中三点A（2，0，-2），B（1，-1，-2），C（3，0，-4），设

a

=

AB

，

b

=

AC

（I）若|

c

|=3，且

c

∥

BC

，求向量

c

；
（II）已知向量k

a

+

b

与

b

互相垂直，求k的值；
（III）求△ABC的面积．

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（1）求cos＜

a

，

b

＞；
（2）若向量k

a

+

b

与k

a

-2

b

相互垂直，求k的值．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、B₁C的中点．
（1）用向量法证明平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（2）用向量法证明MN⊥面A₁BD．

已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）
（1）求证：

AP

是平面ABCD的法向量
（2）求平行四边形ABCD的面积．