已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=AA₁=AB=1，∠A₁AB=∠DAB=∠DAA₁=60°，

A1C1

=3

NC1

，

D1B

=4

MB

，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

；
（1）试用

a

、

b

、

c

表示

MN

；
（2）求MN的长度；

设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，BB₁的中点．如图，以D为坐标原点，

DA

，

DC

，

DD1

为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．
（I）求

A1E

•

D1F

；
（II）若点M，N分别是线段A₁E与线段D₁F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别在面对角线AC，A₁C上且CM=2MA，A₁N=2ND．记向量

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，用

a

，

b

，

c

表示

MN

．

如图，平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，

AB

=a，

AD

=b，

AA1

=c，E为A₁D₁的中点，F为BC₁与B₁C的交点，
（1）用基底{a，b，c}表示下列向量：

DB1

，

BE

，

AF

；
（2）在图中画出

DD1

+

DB

+

CD

化简后的向量．

（理）已知

a

=（2，-1，2），

b

=（2，2，1），求以

a

，

b

为邻边的平行四边形的面积．

已知向量

a

=（2，-1，-2），

b

=（1，1，-4）．
（1）计算2

a

-3

b

和|2

a

-3

b

|；
（2）求＜

a

，

b

＞

已知

a

=（1，2，3），

b

=（1，0，1），

c

=

a

-2

b

，

d

=m

a

-

b

，求实数m的值，使得
（1）

c

⊥

d

；
（2）

c

∥

d

．

设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，AA₁的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC₁分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量

D1E

与

C1F

的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D₁E与线段C₁F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在唯一的一点P满足A₁P⊥PB，求实数λ的值．

若向量

a

=（1，λ，2），

b

=（-2，1，1），

a

，

b

夹角的余弦值为

1

6

，求λ．