已知向量

a

=(2，1，-2)，

c

=(-1，0，1)，若向量

b

同时满足下列三个条件：
①

a

•

b

=-1；②|

b

|=3；③

b

与

c

垂直．
（1）求向量

b

的坐标；
（2）若向量

b

与向量

d

=(1，-

1

2

，1)共线，求向量

a

-

b

与2

b

+3

c

夹角的余弦值．

已知空间三点A（-1，2，1），B（0，1，-2），C（-3，0，2）
（1）求向量

AB

与

AC

的夹角的余弦值，
（2）若向量3

AB

-

AC

与向量

AB

+k

AC

垂直，求实数k的值．

如图所示，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在B₁B和D₁D上，且|BE|=

1

3

|BB₁|，|DF|=

2

3

|DD₁|
（1）求证：A、E、C₁、F四点共面；
（2）若

EF

=x

AB

+y

AD

+z

AA1

，求x+y+z的值．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AC，AB₁的中点，
（1）求直线AB₁ 和平面A₁B₁C₁D₁ 所成的角大小；
（2）求证：EF∥平面BB₁C₁C．

（Ⅰ）设向量

a

=（3，5，-4），

b

=（2，0，3），

c

=（0，0，2），求：

a

-（

b

+

c

）、

a

+6

b

-8

c

．
（Ⅱ）已知点A（1，-2，0）和向量

a

=（-1，2，3）求点B坐标，使向量

AB

与

a

同向，且|

AB

|=2

14

．

棱长为2的正方体中，E，F分别是DD₁，DB的中点，G在棱CD上，且CG=

1

3

CD，H是CG₁的中点．
（1）证明：EF⊥B₁C．
（2）求cos＜

EF

，

C1G

＞．
（3）求FH的长．

已知向量

a

、

b

、

c

是空间的一个单位正交基底，向量

a

+

b

、

a

-

b

、

c

是空间的另一组基底，若向量

p

在基底

a

、

b

、

c

下的坐标是（1，3，4），求向量

p

在基底

a

+

b

、

a

-

b

、

c

下的坐标．

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求cos＜

AB

，

AC

＞；
（2）求以AB，AC为边的平行四边形的面积．

已知向量

a

=（x，2，2），

b

=（2，y，-2），

c

=（3，1，z），

a

∥

b

，

b

⊥

c

．
（1）求向量

a

，

b

，

c

；
（2）求向量（

a

+

c

）与（

b

+

c

）所成角的余弦值．

如图，已知向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，可构成空间向量的一个基底，若

a

=（a₁，a₁，a₃），

b

=（b₁，b₂，b₃），

c

=（c₁，c₂，c₃），在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b=（a₂b₃-b₂a₃，a₃b₁-a₁b₃，a₁b₂-a₂b₁），显然

a

×

b

的结果仍为一个向量，记作p．
（1）求证：向量

p

为平面OAB的法向量；
（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于|

a

×

b

|；
（3）将四边形OADB按向量c平移，得到一个平行六面体OADB-CA₁D₁B₁，是判断平行六面体的体积V与（

a

×

b

）•

c

的大小．