已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）与抛物线y²=4x有共同的焦点，且椭圆C过（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆x²+y²=r²与椭圆C交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（3，0）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点M在圆x²+y²=b²上，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点；M是否可能是线段PQ的中点，若可能，求出M的坐标；若不可能，说明理由；
（3）M，P，Q如（2）中定义，假设M在第一象限，求证：△PF₂Q的周长是定值．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，曲线y=

2

x

与抛物线C交于点P，PF⊥x轴．
（1）求p的值；
（2）抛物线的准线交x轴交于点Q，过点Q的直线与抛物线C交于A、B两点，求AB的中点M的轨迹方程．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，且经过点(1，

2

2

)．
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，2）的直线与椭圆交于M、N两个不同的点，求线段MN的垂直平分线在x轴上截距的范围．

已知圆C1：x2+y2=r2(r＞0)的一条直径是椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴，动直线l：x=my+n，当l过椭圆C₂上一点D(1，

2

2

)且与圆C₁相交于点A、B时，弦AB的最小值为

2

．
（1）求圆及椭圆C₂的方程；
（2）若直线l是椭圆C₂的一条切线，M、N是切线上两个点，其横坐标分别为-

2

、

2

，那么以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．

已知定点A（-3，0）、B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

1

9

，记动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于P、Q两点，若直线AP与AQ斜率之积为-

1

18

，求证：直线l过定点，并求定点坐标．

已知抛物线x²=py（p＞0）上点P处的切线方程为x+y+1=0．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）为抛物线上的两个动点，其中y₁≠y₂且y₁+y₂=2，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点T，求△ABT面积的最大值．

22．设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，已知但(1，

3

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂作斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得(

PM

+

PN

)•

MN

=0成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，焦距长为2，左准线为l₁：x=-4．
（1）求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若过点N(1，

1

2

)的直线l交椭圆C于A，B两点，且N为线段AB的中点，求直线l的方程；
（3）过椭圆C右准线l₂上任一点P引圆Q：x²+（y-1）²=8的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则AC₁的长为（　　）