已知双曲线C：

x2

a2

-y2=1(a＞0)的离心率为

2 3

3

．
（1）求双曲线C的方程．
（2）直线y=kx+m（km≠0）与该双曲线C交于不同的两点M、N，且M、N两点都在以点A（0，-1）为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

已知抛物线E：x²=2py（p＞0）上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设l₁，l₂为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l₁与抛物线E相交于A，B两点，直线l₂与抛物线E相交于C，D两点，若直线l₁的斜率为k（k≠0），且S_△OAB•S_△OCD=8，试求k的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四个顶点围成的四边形的面积为2

15

，原点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离为

30

4

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，其离心率为

3

2

，短轴端点与焦点构成四边形的面积为2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（-1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，O为坐标原点，当kOA•kOB=

1

4

时，试求直线l的方程．

（1）若抛物线的焦点是椭圆

x2

64

+

y2

16

=1左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆

x2

64

+

y2

16

=1共焦点，且以y=±

3

x为渐近线，求此双曲线的标准方程．

如图抛物线顶点在原点，圆（x-2）²+y²=4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点P(1，

3

2

)，直线l：y=kx+m交椭圆E于不同的两点A，B，设线段AB的中点为M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当△AOB的面积为

3

2

（其中O为坐标原点）且4k²-4m²+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C，D，使得当直线l运动时，|MC|+|MD|为定值？若存在，求出点C，D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

设点F为椭圆C：

x2

4m

+

y2

3m

=1(m＞0)的左焦点，直线y=x被椭圆C截得弦长为

4 42

7

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆P：(x+

4 3

7

)2+(y-

3 3

7

)2=r2(r＞0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于R，Q两点，若AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|RF|•|QF|的取值范围．

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；
（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x²+（y-1）²=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且抛物线y²=4

3

x的焦点恰好使椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程
（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足

ON

=

OA

+

OB

（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．