18541 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F₁的距离为2，离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A为椭圆C的右顶点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

18542 难度：3

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为

6

3

且过点（

5

，0），过定点C（-1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18543 难度：3

求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于

2

3

；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点（-2，-4）．

18544 难度：3

椭圆

x2

5

+

3y2

5

=1与过点C（-1，0）且斜率为k的直线交于A、B两点．
（1）若线段AB的中点为（-

1

2

，n），求k的值；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得

MA

•

MB

的值为常数，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

18545 难度：3

已知某椭圆的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P（

1

2

，

14

4

），求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 已知某椭圆过点（

2

，-1），（-1，

6

2

），求该椭圆的标准方程．

18546 难度：3

已知椭圆

x2

9

+y²=1，过左焦点F₁倾斜角为

π

6

的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长．

18547 难度：3

已知抛物线y=x²在点A（1，1）处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．

18548 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，点M（-

7

3

，0），求证：

MA

•

MB

为定值．

18549 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x²+（y-b）²=a²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l₁，l₂分别交椭圆C于M，N两点，且l₁⊥l₂，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．

18550 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为

2

2

，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点 M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为

10

3

时，求k的值．