设圆x²+y²+2

3

x-13=0的圆心为A，直线l过点B（

3

，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）过点M（1，

3

2

）作直线MA，MB分别与椭圆相交与A，B两点，满足直线MA与MB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，左焦点为F（-1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在y轴上，是否存在定点E，使

AE

•

BE

恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

已知椭圆：C：

x2

9

+y²=1，点M（0，

1

2

）．
（1）设P是椭圆C上任意的一点，Q是点P关于坐标原点的对称点，记λ=

MP

•

MQ

，求λ的取值范围；
（2）已知点D（-1，-

1

2

），E（1，-

1

2

），P是椭圆C上在第一象限内的点，记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得的线段长，试将s表示成直线l的斜率k的函数．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，短轴长为2，若直线l过点E（-1，0）且与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（

6

，

2 6

3

）到F₁、F₂两点的距离之和等于6，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点M的轨迹方程．

已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点(1，

3

2

)，且椭圆M关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，

3

），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=

1

2

，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得

OM

•

ON

=-2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

已知p：方程

x2

9-m

+

y2

2m

=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线

x2

5

-

y2

m

=1的离心率e∈（

6

2

，

2

）．
（1）若椭圆

x2

9-m

+

y2

2m

=1的焦点和双曲线

x2

5

-

y2

m

=1的顶点重合，求实数m的值；
（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为

2

3

，点M的横坐标为

9

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；
（3）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．