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高中数学
18521
难度：3
如图，椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为
2
2
．
（I）求椭圆E的方程；
（II）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
18522
难度：3
中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F
1
、F
2
，且F
1
F
2
=2
13
，椭圆的长半轴长与双曲线实际轴长之差为4，离心率之比为3：7．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F
1
PF
2
的面积．
18523
难度：3
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
（-3，0），F
2
（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．
（Ⅰ）若三角形AF
1
F
2
的周长为4
3
+6，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|＞
2
4
，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．
18524
难度：3
已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，F
1
、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF
1
为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF
1
F
2
面积的最大值．
18525
难度：3
已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，右焦点为F（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．
18526
难度：3
椭圆
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1（a＞b＞0）的两焦点为F
1
（0，-c），F
2
（0，c）（c＞0），离心率e=
3
2
，焦点到椭圆上点的最短距离为2-
3
，求椭圆的方程．
18527
难度：3
如图，椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
18528
难度：3
已知椭圆
C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a＞b＞0)
的离心率为
6
3
，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
x-y+
2
-1=0
相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，BN的斜率分别为k
1
，k
2
，请问 k
1
+k
2
是否为定值？如果是求出该值，如果不是说明理由．
18529
难度：3
已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4
3
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．
18530
难度：3
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，-5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）焦点在坐标轴上，且经过A（
3
，-2）和B（-2
3
，1）两点．
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