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高中数学
18501
难度：3
如图，把椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=4
的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P
1
，P
2
，P
3
，P
4
，P
5
，P
6
，P
7
七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P
1
F|+|P
2
F|+|P
3
F|+|P
4
F|+|P
5
F|+|P
6
F|+|P
7
F|=__________．
18502
难度：3
如图，过椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上的动点M引圆O：x
2
+y
2
=b
2
的两条切线MA与MB，其中A，B分别为切点，若椭圆上存在点M，使四边形OAMB为正方形，则该椭 圆离心率的范围为__________．
18503
难度：3
如图，已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0），F
1
，F
2
分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF
2
交椭圆于另一点B．
（1）若∠F
1
AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且
A
F
2
=2
F
2
B
，求椭圆的方程．
18504
难度：3
已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且a
2
=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数m，使得直线l：x-y+m=0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x
2
+y
2
=5上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
18505
难度：3
已知椭圆C：
x
2
a
2
+y
2
=1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x
2
+y
2
=
2
3
相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k
1
，k
2
，且k
1
+k
2
=2，证明：直线AB过定点．
18506
难度：3
已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上的点到焦点的最大距离为3，离心率为
1
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：x-my+1=0与椭圆C交于不同两点A，B，与x轴交于点D，且满足
DA
=λ
DB
，若
-
1
2
≤λ＜
-
1
3
，求实数m的取值范围．
18507
难度：3
已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的焦距为2
3
，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），直线AB的方程为y=-2x+m（m＞0），试求m的值．
18508
难度：3
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A，B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．
18509
难度：3
（普通中学做）已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过右焦点F的直线l与C
相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
OP
=
OA
+
OB
成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由．
18510
难度：3
已知定点 A（
-
1
2
，0），B是圆C：（x
-
1
2
）
2
+y
2
=4上的一个动点，线段AB的垂直平分线交BC于M点，求动点M的轨迹方程．
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