已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，用反证法证明：a，b，c＞0．

设x，y都是正数，且x+y＞2．证明：

1+x

y

＜2和

1+y

x

＜2中至少有一个成立．

已知c＞1，用分析法证明：

c-1

+

c+1

＜2

c

．

设a，b是非负实数，求证：a³+b³≥

ab

（a²+b²）．

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=

1

3

AC，AE=

2

3

AB，BD，CE相交于点F．
（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

已知x∈R，a=x²+

1

2

，b=2-x，c=x²-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

用分析法证明：

8

+

7

＞

5

+

10

．

对于每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，…，a_n，定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1．
对于每项均是非负整数的数列B：b₁，b₂，…，b_m，定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）．
又定义S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²．
设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A₀为2，6，4，8，写出数列A₁，A₂；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S（A_k+1）=S（A_k）．

已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明：a也是偶数．