已知集合Pn={x|2n＜x＜2n+1且x=7m+3，m，n∈N*}．
（1）用列举法写出集合P₄；
（2）是否存在自然数n，使得2019∈P_n，若存在，求出n的值，并写出此时集合P的元素个数；若不存在，请说明理由．

已知a，b，c，d是四个均不相等的正实数，且a＜b＜c＜d，求证：其两两乘积不可能分别为2，3，5，6，10，16．

如图，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r_内是△ABC的内切圆半径，设S_△ABC是△ABC的面积，l_△ABC是△ABC的周长，由等面积法，可以得到r_内=

2S△ABC

l△ABC

．
（Ⅰ）与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径R_内公式（只写结论即可，不必写推理过程）；
（Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P-ABC的内切球半径．

已知M，N是双曲线

x2

2

-y²=1上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上的任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，则k_PM•k_PN=

1

2

（定值）．
（1）试类比上述双曲线的性质，写出椭圆

x2

2

+y²=1的一个类似性质，并加以证明；
（2）如图，E，F是椭圆

x2

2

+y²=1上异于上、下顶点A，B的两点，且A△OEF的面积为

2

2

，过点A作AQ∥OE，交椭圆于点Q，连结QB，求证：QB∥OF．

如图1，已知△PAB中，PA⊥PB，点P在斜边AB上的射影为点H．

（Ⅰ）求证：

1

PH2

=

1

PA2

+

1

PB2

；
（Ⅱ）如图2，已知三棱锥P-ABC中，侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，点P在底面ABC内的射影为点H．类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P-ABC中PH与PA，PB，PC的关系，并证明．

某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下四个式子均是正确的：
①

3

＜2

2

-

1

；②

4

＜2

3

-

2

；③

5

＜2

4

-

3

；④

6

＜2

5

-

4

．
（Ⅰ）已知

2

∈（1.41，1.42），

3

∈（1.73，1.74），

5

∈（2.23，2.24），

6

∈（2.44，2.45），请从①②③④这四个式子中任选一个，结合所的出的

2

、

3

、

5

、

6

的范围，验证所选式子的正确性（注意不能近似计算）
（Ⅱ）据此规律，运用合情推理知识，写出第n个不等式，并证明所写出的不等式．

（1）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=ae^x+b的图象过点（0，1），求

1

a

+

4

b

的最小值；
（2）类比（1）中的解题思路，证明：在平面四边形ABCD中，式子

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

不可能小于

8

π

．

给出以下四个式子：
①sin²8°+cos²22°-sin8°cos22°；②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²16°+cos²14°-sin16°cos14°；④sin²（-5）°+cos²35°-sin（-5）°cos35°．
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明．

用三段论的形式写出下列演绎推理：
（1）正整数是自然数，3是正整数，所以3是自然数；
（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
（3）0.33

•

2

是有理数．

已知性质A：“在等差数列{a_n}中，若a₁₂=0，则a₁+a₂+..+a_n=a₁+a₂+…+a_23-n．（n＜23n∈N*）成立”．
（1）类比性质A，请写出等比数列的类似性质B：
性质B：“在等比数列{b_n}中，若b₁₁=1，__________”．
（2）证明性质A或性质B．