某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式，并证明你的结论．
（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ∓sinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个正三角形挖掉（如图1），再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个正三角形挖掉，得图2，如此继续下去…
（1）图3共挖掉多少个正三角形？
（2）设原正三角形边长为a，第n个图形共挖掉多少个正三角形？这些正三角形面积和为多少？

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{

1

an

}是等差数列时的大前提、小前提和结论．

观察①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

；③sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=

3

4

，猜想一个一般的式子，并证明．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

已知：sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

通过观察上述等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

观察以下各等式：
tan30°+tan30°+tan120°=tan30°•tan30°•tan120°，
tan60°+tan60°+tan60°=tan60°•tan60°•tan60°，
tan30°+tan45°+tan105°=tan30°•tan45°•tan105°．
分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明．

我们可以用多种方法命题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．
即在四边形ABCD中，若|AB|²+|CD|²=|AD|²+|CB|²，则AC⊥BD
（1）请用向量进行证明；
（2）写出上述命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由；
（3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试根据表格提示，得出勾股定理在空间上推广的结论．

勾服定理的类比	三角形ABC	四面体O-ABC
条件	AB⊥AC	OA，OB，OC两两垂直
结论	AB2+AC2=BC2	？

（4）请对（2）中的逆命题进行推广，并给出证明．
说明：对于第（4）题，将根据写出的真命题所体现的思维层次的对问题探究的完整性，给予不同的评分．

如图1，2所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，则

S△ADE

S△ABC

=

AD•AE

AB•AC

，试在立体几何中写出类似的三棱锥性质的猜想，并予以证明

已知f（x）=

1

2x+ 2

，分别求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．