某同学解答一道三角函数题：“已知函数f（x）=cos²x-sin²x．
①求f（

π

2

）的值；
②求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．”
解答过程如下：
解：①由题意得f（

π

2

）=cos²

π

2

-sin²

π

2

=0-1=-1；
②由题意得f（x）=cos²x-sin²x=cos2x
令t=2x，
因为-

π

6

≤x≤

π

4

，
所以-

π

3

≤2x≤

π

2

所以-

π

3

≤t≤

π

2

画出函数y=cost在区间[-π，π]上的图象
由图象可知，
y=cost在区间[-

π

3

，0]上是增函数，在区间[0，

π

2

2]上是减函数，且cos（-

π

3

）＞cos

π

2

，所以当t=

π

2

，即x=

π

4

时，f（x）取得最小值0
当t=0，即x=0时，f（x）取得最大值1
下表列出了某些数学知识：

函数的概念

弧度制的概念

正弦定理、余弦定理

任意角的正弦、余弦的定义

两角和的正切公式

二倍角的余弦公式

y=cosx的图象

函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义

请写出在上述解答过程中，用到的此表中的数学知识．

某同学在一次研究性学习中，发现有以下三个等式成立：
①tan30°+tan30°+tan120°=tan30°•tan30°•tan120°
②tan60°+tan60°+tan60°=tan60°•tan60°•tan60°
③tan30°+tan45°+tan105°=tan30°•tan45°•tan105°
该同学做了进一步大胆的猜想、推理，并查表验证，发现以下三个等式也成立．
④tan33°+tan27°+tan120°=tan33°•tan27°•tan120°
⑤tan62°+tan57°+tan61°=tan62°•tan57°•tan61°
⑥tan13°+tan20°+tan147°=tan13°•tan20°•tan147°
请你分析上述各式的共同特点，猜想出更一般的规律，并加以证明．

某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
①

2+i

1-2i

②

-4+3i

3+4i

③

-1-i

-1+i

（i是虚数单位）
（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．

已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，……；n条直线将一个平面最多分成

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

个部分（n＞1）
（1）试猜想：n个平面最多将空间分成多少个部分（n＞2）？
（2）试证明（1）中猜想的结论．

已知函数f(x)=

1

4x+2

，
（Ⅰ）分别求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．

先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：tan(x-

π

4

)=

tanx-1

tanx+1

；
（2）已知函数f（x）满足f(x+1)=

f(x)-1

f(x)+1

（x∈R），试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

A、B、C三位老师分别教数学、英语、体育、劳技、语文、阅读六门课，每位教两门．已知：
（1）体育老师和数学老师住在一起，
（2）A老师是三位老师中最年轻的，
（3）数学老师经常与C老师下象棋，
（4）英语老师比劳技老师年长，比B老师年轻，
（5）三位老师中最年长的老师比其他两位老师家离学校远．
问：A、B、C三位老师每人各教那几门课？

已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上n个圆最多可以将平面分成f（n）个部分．
（1）求f（3），f（4）的值；
（2）猜想f（n）的表达式并证明；
（3）证明：2ⁿ≥f（n）．

下面（A）（B）（C）（D）为四个平面图形：
（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整：

	交点数	边数	区域数
（A）	4	5	2
（B）	5	8
（C）		12	5
（D）		15

（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E、F、G，试猜想E、F、G之间的数量关系（不要求证明）．

下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）（n∈N₊）．
（1）写出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系（不用证明），并求出f（n）的表达式．