求方程“5^x+12^x=13^x”的解有如下思路；将5^x+12^x=13^x变形为（

5

13

）^x+（

12

13

）^x=1，考察函数f（x）=（

5

13

）^x+（

12

13

）^x发现，f（2）=1，且f（x）在R上单调递减，所以原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式x⁶-（x+2）³+2x²-2x-4≤0的解集是__________．

对于大于1的自然数m，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：2³=3+5，3³=7+9+11.4³=13+15+17+19．…．对此，若m³的“分裂数”中有一个是2019，则m=__________

容器中有A，B，C3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．
现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子
②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子
④以上都不正确
其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）

某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学，有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了，”乙说：“甲、丙都没去．丙说：“是丁去了．”丁说：“丙说的不对．”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是__________．

某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数．
1．sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
2．sin²18°+cos²12-sin18°cos12°
3．sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点（1，0）处时，下一步可行进到（2，0）、（0，0）、（1，1）、（1，-1）这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L（n）．
（1）求L（1），L（2），L（3）的值；
（2）求L（n）的表达式．

已知函数f（x）=

ax+a-x

2

，g（x）=

ax-a-x

2

（其中a＞0，且a≠1），
（1）若f（1）•g（2）+f（2）•g（1）=g（k），求实数k的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．

对于不等式1+

6

≤

3

+2，

2

+

7

＜2+

5

，3+2

2

＜

5

+

6

，它们都是正确的．
根据上面不等式的规律，归纳猜想

n

+

n+5

与

n+2

+

n+3

（n∈N⁺）的大小并加以证明．

已知i为虚数单位，观察下列各等式
（cos1+isin1）（cos2+isin2）=cos3+isin3；
（cos3+isin3）（cos4+isin4）=cos7+isin7；
（cos5+isin5）（cos6+isin6）=cos1+isin11；
（cos7+isin7）（cos8+isin8）=cos15+isin15
记f（α）=cosα+isinα，α∈R．
（1）根据以上规律，试猜想f（α），f（β），f（α+β）成立的等式，并加以证明．
（2）计算：（

3

2

+

1

2

i）⁶．

如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若AB=BO=3．
（1）求失败点组成的区域
（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？