如表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入y（单位：万元）的数据如表

年份	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
年纯收入y	2	3	3.5	4	4.5	5	6

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入（结果精确到0.1）．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

̂

b

=

n i=1 (ti- t )(yi- y )

n i=1 (ti- t )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

t

某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入3.5万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司投入广告费用之后，根据频率分布直方图，试估计对应销售收益的平均值；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）	1	2	3	4	5
销售收益y（单位：万元）	2	3	2	5	7

表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

∧

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x_i，y_i）（i=1，2，…6），如表所示：

试销单价x（元）	4	5	6	7	8	9
产品销量y（件）	q	84	83	80	75	68

已知

y

=80
（1）求q的值
（2）已知变量x，y具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

可供选择的数据

6

i=1

xiyi=3050，

6

i=1

xi2=271
（3）用

̂

y

表示（2）中所求的线性回归方程得到的与x_i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，6）对应的残差的绝对值|

̂

y

i-yi|≤1时，则将销售数据（x_i，y_i）称为一个“好数据”．试求这6组销售数据中的“好数据”．
参考数据：线性回归方程中

̂

b

，

̂

a

的最小二乘估计分别是

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i= x 2 i -n( x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	11	9	8	5

（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001
参考数据：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i-1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=

b

x+

a

；．
（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
（参考公式：b=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2- n -2 x

，a=

y

-b

x

．．参考数值：

n

i=1

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程

y

=bx+a，其中b=-20，a=

y

-b

x

；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
参考公式：

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 x 2 i -n x 2

；

a

=

y

-

b

x

．

下表提供了某厂生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	2	4	6	8	10
y	4	5	7	9	10

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

y

=

b

x+

a

；
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测生产20吨该产品的生产能耗是多少吨标准煤？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 xi2-n x 2

，

a

=

y

-

b

x

．

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）当b=-20时，求回归直线方程

y

=bx+a
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程

y

=bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？．

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 xi2-n x 2

，

a

=

y

-

b

x

．

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：

时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量x（万辆）	50	51	54	57	58
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	69	70	74	78	79

（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，
（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）
参考公式其中

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

：方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

．