16561 难度：3

已知曲线y=

1

x2

上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．

16562 难度：3

已知函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．
（1）若函数y=f（x）的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
（2）若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

16563 难度：3

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

1

3

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

16564 难度：3

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=

f′(x)

x

，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

16565 难度：3

设点B在点A的正东方向60cm处，现在A、B两点同时开始运动，A以15cm/s的速度向东，B以10cm/s的速度向北做匀速直线运动，求变动的AB连线长在第2秒末的速率．

16566 难度：3

设函数f(x)=

x2+ax(x≤1) x+b(x＞1)

，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．

16567 难度：3

已知曲线C₁：y=x²-2x+2和曲线C₂：y=x³-3x²+

1

2

x+5有一个公共点P（2，2），若两曲线在点P处的切线的倾斜角分别是α和β，求tan（

α+β

2

）和sin（

α+β

3

）的值．

16568 难度：3

已知函数f(x)=

1

3

x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

16569 难度：3

已知三次函数f（x）=x³+ax²-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．

16570 难度：3

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x₀，y₀）．
（1）求证：x₀是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．