已知函数f（x）=

1

3

x³-ax+1，
（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）当a＜1时，求f（x）在[0，1]上的最小值；
（3）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围．

有一个光滑斜面与水平桌面成α角，设有一质点在t=0时，从斜面的顶点A处开始由静止状态自由释放，如图所示．如果忽略摩擦力，斜面的长度S=300cm，α=65°．求T=0.1，0.2，0.3…1.0s时质点的速度．

如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α．（α为常数）

（1）高h与底面半径r有什么关系？
（2）传输带以0.3m³/min往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r=1.7m时的r对于时间t的变化率．
（参考数据：π取3.14，1.7²=2.89，1.7³≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15）

已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x²|+lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设g(x)=

f(x)

x

，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．

求函数f（x）=ax+b在区间[m，n]上的平均变化率．

已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在[0，

π

2

]上恒成立．

某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA₁，CA₂，…，CA_n所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圆环及金厲杆均不计粗细）
（1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长？
（2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移．

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线y=-

x

2

垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）=

f(x)-m

x

在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f^′（x）满足
0＜f^′（x）＜1”
（I）证明：函数f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）是集合M中的元素；
（II）证明：函数f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，

1

2

），都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．