16411 难度：3

在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y=x²-mx+2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．

16412 难度：3

平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB=4．
（1）求p的值；
（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l₁经过点C且垂直于y轴，直线l₂经过点M且垂直于直线l，记l₁，l₂相交于点P，求证：点P在定直线上．

16413 难度：3

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线

x2

3

-y²=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；
（2）若直线y=

1

2

x+1与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，求y₁y₂的值．

16414 难度：3

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A∈C，A在l上的射影为B，且△ABF是边长为4的正三角形．
（1）求p；
（2）过点F作两条相互垂直的直线l₁，l₂，l₁与C交于P，Q两点，l₂与C交于M，N两点，设△POQ的面积为S₁，△MON的面积为S₂（O为坐标原点），求S12+S22的最小值．

16415 难度：3

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，2

2

）到焦点F的距离|MF|=

3x0

2

，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：|FP|sin²α=2

16416 难度：3

已知抛物线C：y²=8x，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G．点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离
（1）求P点的坐标；
（2）过点Q（-1，0）作一条斜率为正数的直线L与抛物线C从左向右依次交于A，B两点，求证：∠AGB=2∠AGP．

16417 难度：3

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）与圆M：(x-

p

2

)2+y2=R2的一个公共点为A（2，2）．
（1）求圆M的方程；
（2）已知过点A的直线l与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线OB垂直，求直线l的方程．

16418 难度：3

已知抛物线E：y²=2px（p＞0）上任意一点P到直线x=-2的距离比到焦点F距离大1．
（1）求抛物线E方程；
（2）若A，B，C是抛物线上不同的三点，点M（m，1）（m＞

1

4

）是AB中点，且焦点F是△ABC重心，求证：|FA|+|FB|=2|FC|．

16419 难度：3

已知抛物线Γ：y²=ax（a＞0）的焦点为F，若过F且倾斜角为

π

4

的直线交Γ于M，N两点满足|MN|=4．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若P为Γ上动点，BC在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

16420 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆M：x2+(y+b2)2=

5

2

的一个公共点为(

6

2

， -1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求△OAB的面积．