已知双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，左、右两顶点分别是A₁、A₂，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．
（1）若

d

=(2，

3

)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；
（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=4，试求双曲线Γ的方程；
（3）在（1）的条件下，且|A₁A₂|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA₁和直线CA₂与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

已知双曲线方程为16y²-9x²=144．
（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；
（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

3

x，O为坐标原点，点M（

5

，

3

）在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与双曲线交于P，Q两点，且

OP

•

OQ

=0，求直线l方程．

已知双曲线C的标准方程为 

x2

6

-

y2

6

=1．
（1）写出双曲线C的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点F₁、F₂的坐标；
（2）若点M（3，m）在双曲线C上，求证：MF₁⊥MF₂．

若直线l：y=

3 x

3

-

2 3

3

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为

3

，双曲线与该椭圆离心率之积为

5 6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

如图，若F₁，F₂是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的两个焦点．
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF₁|•|PF₂|=32，试求△F₁PF₂的面积．

已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，则k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）具有的类似的性质，并加以证明．

已知双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，且经过点（

15

，4）．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求此双曲线的标准方程．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于

3

，过右焦点F₂的直线l交双曲线于A、B两点，F₁为左焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若△F₁AB的面积等于6

2

，求直线l的方程．