已知P为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当

AP

=

1

2

PB

时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为__________．

已知双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)的焦距为4，则a的值为__________．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），直线l：x=4a与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点若△OAB（点O为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为2

5

，则双曲线C的离心率为__________

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：

x2

a2

-

y2

16

=1(a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为

4 5

3

，则双曲线C的方程为__________．

已知直线y=a与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A₁，A₂|，若|PA2|=

5

2

|A1A2|，则双曲线C的离心率为__________．

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为__________．

已知P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一点，A为其左顶点，F(4

3

，0)为其右焦点，满足|AF|=|PF|，∠PFA=

π

3

，则点F到直线PA的距离为__________．

已知双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，过F₂作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，给出以下结论：①△PF₁F₂的内切圆的圆心I在直线x=a上；②|OM|=a；③若∠F₁IF₂=θ，则△PF₁F₂的面积为-b²tanθ；④△PF₁F₂的内切圆与x轴的交点为（c-a，0），以上结论中，所有正确的序号__________．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心，焦距为半径的圆交y轴正半轴于点M，线段FM交双曲线于点P，且FM=4FP，则双曲线的离心率为__________．

若双曲线

x2

a

-

y2

3

=1的焦距等于4，则它的两准线之间的距离等于__________．