16151 难度：3

如图，已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1的左、右顶点为A₁，A₂，上、下顶点为B₁，B₂，记四边形A₁B₁A₂B₂的内切圆为C₂．
（1）求圆C₂的标准方程；
（2）已知圆C₂的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C₁于P，M两点．
（i）求证：OP⊥OM；
（ii）试探究

1

OP2

+

1

OM2

是否为定值．

16152 难度：3

已知点A(

2

，1)在椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且点A到左焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设点A关于坐标原点O的对称点为D，又B、C两点在椭圆Γ上，且BC∥AD，求四边形ABCD面积的最大值．

16153 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上异于A，B的点，直线AP，BP的斜率分别是k₁，k₂．
（Ⅰ）求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅱ）设直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，且△OMN的面积是2

2

，求椭圆C的标准方程．

16154 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，点P（1，

3

2

）为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k₁，直线BN的斜率为k₂，若k₁=2k₂，求直线l斜率的值．

16155 难度：3

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，抛物线C₂：y2=

9

4

x与椭圆C₁相所得的线段长为3，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点P在椭圆C₁上
（1）求椭圆C₁的方程
（2）设直线PF₂与C₁的另一个交点为Q．过P，Q分别作直线l：x=t（t＞2）的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列求直线PQ斜率的取值范围

16156 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），长半轴长与短半轴长的差为2-

3

，离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且

1

|PM|2

+

1

|QM|2

为定值，求点M的坐标．

16157 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且定点Q（1，0）与短轴端点连线所得三角形面积为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过定点P（-1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AQ，BQ分别与椭圆C交于E，F两点，设

AQ

=λ

QE

，

BQ

=μ

QF

，求λ+μ的取值范围．

16158 难度：3

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂为其左右焦点，B₁、B₂为其上下顶点，四边形F₁B₁F₂B₂的面积为2．
（1）求椭圆E的长轴A₁A₂的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
（2）设M、N是椭圆E上的两个动点，当|B1M|2+|B1N|2=|MN|2时，直线MN是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由．

16159 难度：3

已知点D（0，-1），过点D做抛物想C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）有一离心率为

2

2

的椭圆C_2：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恰好经过切点A，设切线l与椭圆C₂的另外一个交点为B，记切线l、OA、OB的斜率分别为k、k₁、k₂，若k₁+k₂=4k，求椭圆C₂的方程．

16160 难度：3

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e₁，椭圆C₁的上顶点为M，且

MF1

•

MF2

=0．双曲线C₂和椭圆C₁有相同焦点，且双曲线C₂的离心率为e₂，P为曲线C₁与C₂的一个公共点，若∠F₁PF₂=

π

3

，则正确的是 （　　）

A． e2 e1 =2

B．e1•e2= 3 2

C．e 2 1 + e 2 2 = 5 2

D．e 2 2 - e 2 1 =1