16111 难度：3

已知P（x，y）为椭圆

x2

4

+

y2

16

=1上的任意一点，则|2

3

x+y-1|的最大值为__________

16112 难度：3

将椭圆

x2

4

+y2=1上每一点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C．
（1）写出曲线C的方程；
（2）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P₁，P₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

16113 难度：3

已知椭圆C：

x=3cosφ y=sinφ

（ϕ为参数），A，B是C上的动点，且满足OA⊥OB（O为坐标原点），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为(4，

4π

3

)．
（1）求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
（2）证明：

1

OA2

+

1

OB2

为定值，并求△AOB面积的最大值．

16114 难度：3

如图，椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)的离心率为

2

2

，过点P（2，0）作直线l交椭圆于不同两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）①设直线的斜率为k，求出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程（用k表示）；
②若C，D为椭圆上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

16115 难度：3

已知C：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为F，过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l与直线OM的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明|AF|•|BQ|=|BF|•|AQ|．

16116 难度：3

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，其短轴的端点分别为A，B，|AB|=2，且直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M(m，

1

2

)，满足m≠0且m≠±

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求实数m的值．

16117 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆C与A、B两点，△AF₂B的周长为4

2

，且椭圆C经过点(1，

2

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当AB的中点坐标为(-

2

3

，

1

3

)时，求△AF₂B的面积．

16118 难度：3

已知椭圆C：

x2

9

+

y2

4

=1，若不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）若线段MN的中点坐标为（1，1），求直线l的方程；
（2）若直线l过点（6，0），点P（x₀，0）满足k_PM+k_PN=0（k_PM，k_PN分别是直线PM，PN的斜率），求x₀的值．

16119 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

1

2

，椭圆C上的点M(1，

3

2

)到点F₁，F₂的距离之和等于4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

16120 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

6

3

；圆Ω：x²+y²-Dx-2=0过椭圆C的三个顶点．过点F₂且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）证明：在x轴上存在定点A，使得

AP

2+

AP

•

PQ

为定值：并求出该定点的坐标．