设点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，I是△PF₁F₂的内心，若△PF₁F₂的面积是△IF₁F₂面积的3倍，则该椭圆的离心率为__________．

阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为

4

5

，面积为20π，则椭圆C的标准方程为__________．

椭圆

x2

36

+

y2

m

=1短轴的长为8，则实数m=__________．

椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上任意两点P、Q，O为坐标原点，若PO⊥QO，则|OP|•|OQ|的最小值是__________，此时，|OP|=__________．

已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，点P在椭圆C上移动时，I为△PF₁F₂的内心，则|IO|的取值范围（O为坐标原点）为__________．

过点(0，

5

)且离心率为

2

3

的椭圆中心在原点，x轴上的两焦点分别为F₁，F₂，过F₁作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF₂的周长为__________．

如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆顶点，F₂为右焦点，延长B₁F₂与A₂B₂交于点P，若∠B₁PA₂为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是__________．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的右端点为A，其中O为坐标原点．若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为__________．

已知点P在椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上，点Q，R分别在圆O₁：（x+1）²+y²=1和圆O₂：（x-1）²+y²=1上运动，若过点P存在直线l同时与两圆相切，这样的点P的个数为__________；当点P在椭圆上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为__________．

万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为__________cm．