14571 难度：3

设{a_n}是等比数列，其前n项的和为S_n，且a₂=2，S₂-3a₁=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n+a_n≥48，求n的最小值．

14572 难度：3

设{a_n}是等比数列，S_n为其前n项的和，且a₂=2，a₁+S₂=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n≥80，求n的最小值．

14573 难度：3

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，数列{b_n}前n项和为T_n．
（1）若数列{a_n}是首项为正数，公比为q（q＞1）的等比数列．
①求证：数列{b_n}为等比数列；
②若T_n+1≤4b_n对任意n∈N^*恒成立，求q的值；
（2）已知{a_n}为递增数列，即an+1＞an(n∈N*)．若对任意n∈N^*，数列{a_n}中都存在一项a_m使得b_n+1=a_m-a_n，求证：数列{a_n}为等差数列．

14574 难度：3

已知数列{a_n}满足a₁=1，2a_n+1=3a_n+1．
（Ⅰ）证明：{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）证明：数列{a_n}中的任意三项不为等差数列；
（Ⅲ）证明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

5

2

．

14575 难度：3

设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N^*）．
（1）判断数列{an-

3n

5

}是否为等比数列，请说明理由；
（2）S_n是数列{a_n}的前n项的和，若{S_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

14576 难度：3

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，且S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₁，a₇，a₄成等差数列．

14577 难度：3

已知{a_n}是无穷等差数列，公差为d，{b_n}，{c_n}都是无穷等比数列，公比分别为q₁，q₂．
（1）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是等差数列，求q₁的值；
（2）若{b_n+c_n}是等比数列，且b₁=1，c₁=2，判断q₁，q₂的关系并证明．

14578 难度：3

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=

n+2

n

Sn（n=1，2，3…）．
证明：（1）数列{

Sn

n

}是等比数列；
（2）S_n+1=4a_n．

14579 难度：3

设实数x，m，y成等差数列（m≠0），实数x，y，z成等比数列，非零实数n是y与z的等差中项．求证：

x

m

+

z

n

=2

14580 难度：3

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=

3

2

an+b（n∈N*，b∈R，b≠0）．
（ I）求证：{a_n}是等比数列；
（ II）求证：{a_n+1}不是等比数列．