已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（-

3

cosx，-

3

2

），函数f（x）=（

a

-

b

）•

a

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及对称轴方程；
（2）若f（

α

2

）=

3

3

，α∈[0，

π

2

]，求sinα的值．

定义向量

OM

=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为

OM

=(a，b)（其中O为坐标原点）．
（1）若g(x)=3sin(x+

3π

2

)+4sinx，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量

OM

的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若

MP

⊥

NP

，求t的值
（2）求证：R，A，C三点共线．

已知向量

a

=（-

3

sin

x

2

，1），

b

=（1，cos

x

2

+2），函数f（x）=

3

2

a

•

b

．
（1）求函数f（x）在 x∈[-π，

5π

3

]的单调减区间；
（2）当x∈[

π

3

，π]时，若f（x）=2，求cos

x

2

的值．

对于一组向量

a1

，

a2

，

a3

，…，

an

（n∈N^*），令

Sn

=

a1

+

a2

+

a3

+…+

an

，如果存在

ap

（p∈{1，2，3…，n}），使得|

ap

|≥|

Sn

-

ap

|，那么称

ap

是该向量组的“h向量”．
（1）设

an

=（n，x+n）（n∈N^*），若

a3

是向量组

a1

，

a2

，

a3

的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若

an

=((

1

3

)n-1，0)（n∈N^*），向量组

a1

，

a2

，

a3

，…，

an

是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知

a1

、

a2

、

a3

均是向量组

a1

，

a2

，

a3

的“h向量”，其中

a1

=(

ex

2

，0)，

a2

=(

e-x

2

，0)，求证：
|

a1

|²+|

a2

|²+|

a3

|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，-sinx），X∈R，
（Ⅰ）求|AB|的最小值；
（Ⅱ）设f(x)=

OA

•

OB

，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心．

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（π+θ）），

b

=（cos（

π

2

-θ），sin（

π

2

-θ））．
（Ⅰ）求证

a

⊥

b

；
（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使

x

=

a

+（t²+3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

满足

x

⊥

y

，试求此时

k+t2

t

的最小值．

已知向量

OA

=（2，2），

OB

=（-4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当

PA

•

PB

取得最小值时，求

OP

的坐标；
（2）设∠APB=θ，当点P满足（1）时，求cosθ的值．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=c，∠A的平分线为AD，若

AB

•

AD

=m

AB

•

AC

．
（1）当m=2时，求cosA
（2）当

a

b

∈（1，

2 3

3

）时，求实数m的取值范围．

如图，在平行四边形ABCD中，|

AB

|=3，|

BC

|=2，

e1

=

AB

| AB |

，

e2

=

AD

| AD |

，

AB

与

AD

的夹角为

π

3

．
（1）若

AC

=x

e1

+y

e2

，求x、y的值；
（2）求

AC

•

BD

的值；
（3）求

AC

与

BD

的夹角的余弦值．