已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

，

b

表示向量

OC

，

DC

；
（2）若向量

OC

与

OA

+k

DC

共线，求k的值．

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DM=

1

3

DE，若

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）用

a

，

b

表示

BM

；
（2）若N为线段BC上的点，且BN=

1

3

BC，用向量方法证明：A、M、N三点共线．

如图，在△OAB中，

OC

=

1

3

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD与BC交于点M，设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）试用向量

a

和

b

表示；
（2）在线段AO上取一点E，线段BO上取一点F，使EF过M点，

OE

=λ

OA

，

OF

=μ

OB

，求证：

1

λ

+

2

μ

为定值．

在平面直角坐标系中，A(1，t)，C(-2，2)，

OB

=

OA

+

OC

（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）．
（1）求B的坐标；
（2）求四边形OABC在第一象限部分的面积．

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

OA

+bn

OB

（n∈N^*），其中a_n，b_n分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若

AP1

=2

P1B

．
（1）求P₁的坐标；
（2）试判断点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，能否共线？并证明你的结论．

已知直角坐标系中A（l，2），B（3，3），C（cosθ+1，sinθ+2），D（4，5）
（1）若

AB

与

AC

平行，求sinθ（sinθ-cosθ）的值；
（2）设点P的坐标为（x，y）且点P在△ABD的边界及内部运动，若

OP

=m

AB

+n

AD

，求m+n的最大值．

小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且

OP

=x

OA

+y

OB

时，x+y=1（如图1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．
（1）当x+y＞1或x+y＜1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且

OP

=x

OA

+y

OB

，求实数x的取值范围，并求当x=

1

2

时，实数y的取值范围．
（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且

OP

=x

OA

+y

OB

，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件．（不必证明）

已知直线l上两个点A（0，3）、C（3，0），其中O为坐标原点．
（1）若

OD

=

1

3

OA

+

4

3

OC

，求点D的坐标，并确定点D与直线l的位置关系；
（2）已知点B是直线l上的一点，求证：若存在实数m、n，使向量

OB

=m

OA

+n

OC

，则m+n=1．

已知向量

AB

=（1，1，1），

AC

=（1，2，-1），

AD

=（3，y，1）．
（Ⅰ）若AD⊥AC，求y的值；
（Ⅱ）若A，B，C，D四点共面，求y的值．

设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足

AD

=

λ+1

λ2+2

AB

，

AP

=

AD

+

λ

λ+1

BC

，λ＞0．求：
（1）记f（λ）=

S△APD

SABC

，求f（λ）关于λ的表达式；
（2）求出f（λ）的最大值并求出相应的λ值．