在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若

AC

=λ

AM

+μ

AN

，则实数λ+μ的值为__________．

如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

，

b

表示

OM

；
（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设

OE

=p

OA

，

OF

=q

OB

，求

1

p

+

2

q

的值．

如图所示，在△ABC中，

AQ

=

QC

，

AR

=

1

3

AB

，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
（1）用

AB

和

AC

分别表示

BQ

和

CR

；
（2）如果

AI

=

AB

+λ

BQ

=

AC

+μ

CR

，求实数λ和μ的值；
（3）确定点P在边BC上的位置．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）A、B、C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（sinx，cosx），B（cosx，cosx），函数f（x）=

OA

•（

OA

+

OB

），求使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值范围．

在直角坐标平面内，

i

、

j

分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，

OA1

=a•

i

+2

j

(a∈R)，对任意正整数n，

AnAn+1

=

i

+2

j

．
（1）若实数a=-9，求|

OA2

|；
（2）设

OAn

=xn•

i

+yn•

j

，证明点A_n在直线y=2x+2-2a上．

如图，在△ABC中，AB=2，AC=5，cos∠CAB=

3

5

，D是边BC上一点，且

BD

=2

DC

（1）设

AD

=x

AB

+y

AC

，求实数x，y的值；
（2）若点P满足

BP

与

AD

共线，

PA

⊥

PC

，求

| BP |

| AD |

的值．

如图，在△ABO中，|

OA

|=6，|

OB

|=3，且

OA

与

OB

的夹角为60°，

BP

=2

PA

．
（1）求

OP

•

AB

的值；
（2）若

OQ

=3

QA

，

PQ

=x•

OA

+y•

OB

，求x，y的值．

点P为△ABC平面上一点，有如下三个结论：
②若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，则点P为△ABC的__________；
②若sinA•

PA

+sinB

PB

+sinC•

PC

=

0

，则点P为△ABC的__________；
③若sin2A•

PA

+sin2B•

PB

+sin2C•

PC

=

0

，则点P为△ABC的__________．
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．
A．重心  B．外心  C．内心  D．重心
（2）请你证明结论②

在如图所示的直角坐标系xOy中，点A、B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=

π

3

，现有一动点C在单位圆的劣弧

AB

上运动，设∠AOC=α．
（1）求点B的坐标；
（2）若tanα=

1

3

，求

OA

•

OC

的值；
（3）若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x、y∈R，求x+y的最大值．

设

e1

，

e2

是二个不共线向量，知

AB

=2

e1

-8

e2

，

CB

=

e1

+3

e2

，

CD

=2

e1

-

e2

．
（1）证明：A、B、D三点共线
（2）若

BF

=3

e1

-k

e2

，且B、D、F三点共线，求k的值．