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高中数学
11941
难度：3
某人在静水中游泳的速度为
4
3
千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳．
（Ⅰ）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（Ⅱ）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
11942
难度：3
设两个非零向量
e
1
和
e
2
不共线．
（1）如果
AB
=
e
1
+
e
2
，
BC
=2
e
1
+8
e
2
，
CD
=3（
e
1
-
e
2
），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使k
e
1
+
e
2
和
e
1
+k
e
2
共线；
（3）若
e
1
、
e
2
是夹角为
2π
3
的两个单位向量，试确定k的值，使
e
1
-
e
2
与k
e
1
+
e
2
垂直．
11943
难度：3
平面内有一个△ABC和一点O（如图），线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
．
（1）试用
a
，
b
，
c
表示向量
EL
，
FM
，
GN
；
（2）证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
11944
难度：3
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（-1，-1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量
AC
-t
OB
与向量
OB
垂直，求实数t的值．
11945
难度：3
设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且
AF=
1
2
AB
，
BD=
1
3
BC
，
CE=
1
4
CA
．若记
AB
=m
，
CA
=n
，试用m，n表示
DE
，
EF
，
FD
．
11946
难度：3
已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：
（1）
AB
+
1
2
(
BD
+
BC
)
（2）
AD
-
1
2
(
AB
+
AC
)
．
11947
难度：3
化简下列各式：
（Ⅰ）
MB
+
AC
+
CM
；
（Ⅱ）
OP
-
QP
+
PS
+
SP
．
11948
难度：3
在△ABC中，已知D是AB边上一点，若
AD
=2
DB
，
CD
=
1
3
CA
+λ
CB
，求λ的值．
11949
难度：3
已知ABC的顶点坐标为A（1，0），B（4，3），C（6，-4），点P的横坐标为3，且
AP
=λ
PB
．
（1）求实数λ的值．
（2）试在边BC上求一点Q，使得
AQ
⊥
BC
．
11950
难度：3
计算下列各式：
（1）3（2
a
-
b
）-2（4
a
-3
b
）；
（2）
1
3
（4
a
+3
b
）-
1
2
（3
a
-
b
）-
3
2
b
；
（3）2（3
a
-4
b
+
c
）-3（2
a
+
b
-3
c
）．
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