对于函数y=H（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀⋅H（x₀）=1成立，则称x₀为函数H（x）的“倒数点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

（x+1）²-1．
（1）求证：函数f（x）有“倒数点”，并讨论函数f（x）的“倒数点”的个数；
（2）若当x≥1时，不等式xf（x）≤m[g（x）-x]恒成立，试求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=log9(9x+1)+

1

2

kx(k∈R)是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若g(x)=log9(a•3x-a)，且对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x|x+a|，a∈R．
（1）若f（1）+f（-1）＞1，求a的取值范围；
（2）若a＜0，对∀x，y∈（-∞，-a]，不等式f(x)≤|y+

3

4

|+|y+

a

2

|恒成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=|x-2|+2．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）＞f（7）；
（Ⅱ）设g（x）=|2x-a|+|2x+3|，若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x（lnx+1），其中a≠0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率小于1，求x₀的取值范围；
（Ⅱ）设整数k使得f(x)≥k(x-

1

2

)对x∈（0，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

设函数f(x)=lnx+ax2-a+1，g(x)=

ex

ex

．
（1）若g（x₁）=g（x₂）=t（其中x₁≠x₂）
（i）求实数t的取值范围；
（ii）证明：2x₁x₂＜x₁+x₂；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≤g（x）在区间（0，+∞）内恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）在（0，+∞）内有唯一解？请说明理由．

已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|．
（1）当m=-1时，画出函数y=f（x）的图象；
（2）不等式f（x）≥|2m+1|-2恒成立，求m的取值范围．

已知f（x）=|x|．
（1）解不等式f（2x-3）≤5；
（2）若x²+2x+f（x-2）+f（x+3）≥a+1在x∈[-1，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax³-

1

x

+b（a＞0，b∈Z），选取a，b的一组值计算f（lga）和f（lg

1

a

）所得出的结果可以是（　　）

已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），对任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）=f（xy）成立，当x＞1时，f（x）＞0．若数列{a_n}满足a₁=f（1），且f（a_n+1）=f（2a_n+1）（n∈N*），则正确的是（　　）