一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=1米．
（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；
（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．

如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、M在单位圆上，且B（

1

2

，

3

2

），M（-

5

5

，

2 5

5

），∠BOM=α．
（1）求tanα的值；
（2）若OC为∠AOB的平分线，点P在劣弧

AC

上运动，且EP∥OC交OA于点E，EPQF为扇形OAB的内接矩形，记∠POC=θ，求角θ为何值时，矩形EPQF的面积最大？并求出这个最大面积．

如图，OPQ是半径为2．圆心角为

π

3

的扇形，点A在

PQ

上（异于点P，Q），过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB=θ，四边形ACOB的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）当θ为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA=2千米，∠AOB=

π

3

，记∠APQ=θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面高为32m（即OM=32m）．巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM=2m），巨轮转动一周需15min．某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'．
（1）试建立点M'距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；
（2）求转动过程中点M'超过地面45m的总时长．

如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（ωt+φ）+B，其中A＞0，ω＞0，-π≤φ＜π，求f（t）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？

如图，已知单位圆O，A（1，0），B（0，1），点D在圆上，且∠AOD=

π

4

，点C从点A沿圆弧

AB

运动到点B，作BE⊥OC于点E，设∠COA=θ．
（1）当θ=

5π

12

时，求线段DC的长；
（2）△OEB的面积与△OCD面积之和为S，求S的最大值．

我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB=

π

3

，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．
（1）求海域ABCD的面积；
（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点20

19

海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．

一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．
（1）若拟修的小路AO段长为

7

百米，求小路ON段的建造费用；
（2）设∠BAP=θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．

某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50

3

米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：

3

取1.732，

2

取1.414）．