如图，A，B是海面上位于东西方向相海距4（3+

3

）里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距16

3

海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）该救援船到达D点所需的时间．

某港口O要将意见重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20nmile的A处，并正以30nmile/h
mile/h的航行速度沿正东方向均速行驶，假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

宿州泗县石龙湖国家湿地公园是保存完好的典型湿地生态系统，具有得天独厚的旅游资源．某日一游船在湖上游玩航行中突然遇险，发出呼救信号，驻湖救援队在A处获悉后，立即测出该游船在北偏东45°方向上，距离A有4千米的C处，并测得游船正沿东偏南15°的方向，以10千米/时的速度向湖心小岛B靠拢，救援舰艇立即以10

3

千米/时的速度前去营救，若想用最短的时间营救游船，求舰艇的航行方向和所需时间．

在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰，在A处收到某商船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A处为10nmile的C处，并测得该船正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度航行，“徐州”舰立即以21nmile/h的速度航行前去营救．
（1）“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船？
（2）在营救时间最少的前提下，“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进？（角度精确到0.1°，时间精确到1min，参考数据：sin68.2°≈0.9286）

如图，某生态农庄内有一块半径为150米，圆心角为

π

3

的扇形空地，现准备对该空地进行开发，规划如下：在弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．
（1）试将PN，MN分别用θ表示；
（2）现计划将△PMN开发为草莓种植基地，进行亲子采摘活动，预计每平方米获利7元，将△PMQ开发为垂钓中心，预计每平方米获利5元，试问：当角θ为何值时，这两项的收益之和最大？并求出最大值．

为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心O后转向

ON

方向，已知tan∠MON=-2，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．
（1）若OA=10

2

km，求两站点A，B之间的距离；
（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

某身高1.8米的同学（如图中AB所示）晚饭后围绕校园内的价值广场散步，若在广场正中央距地面3.6米处有一点光源M，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．该同学在地面上的影子记作AB'．
（1）该同学沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；
（2）若OA=3米，该同学从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA₁走到A₁，∠OAA₁=

π

3

，且AA₁=10米．t秒时，他在地面上的影子长度记为f（t）（单位：米），求f（t）的表达式与最小值．

学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC中，∠C=

π

2

，∠CBA=θ，BC=a．在它的内接正方形DEFG中建房，其余部分绿化，假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．
（1）用a，θ表示S和T；
（2）设f（θ）=

T

S

，试求f（θ）的最大值P；

如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度

π

3

rad/s（每秒绕圆心转动

π

3

rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P₀，且∠xOP₀=

π

6

，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为y=f （t）．
（1）求f（0），f（

3

2

）的值，并写出函数y=f （t）的解析式；
（2）选用恰当的方法作出函数f （t），0≤t≤6的简图；
（3）试比较f（

1

3

），f（

31

4

），f（

31

5

）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）．

如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（Ⅰ）试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
（Ⅱ）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？