如图，在O处有一港口，两艘海轮B，C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行，海轮B的航行速度为20海里/小时，海轮C的航行速度大于海轮B．在港口O北偏东60°方向上的A处有一观测站，1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里，且A处对两艘海轮B，C的视角为30°．
（1）求观测站A到港口O的距离；
（2）求海轮C的航行速度．

如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观在AE上的点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段D，E（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=8米，AE=8米，AP=2米，∠MPN=

π

4

．记∠EPM=θ，监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数关系式，并写出cosθ的取值范围；
（2）求可视区域△PMN的面积的最小值．

市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=2万米，BC=3万米，CD=1万米．（注解：圆内接四边形对角互补）
（1）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；
（2）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；
（3）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值

某度假山庄拟对一半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD（A、B、C、D在圆周上），其中AB∥DC，∠DAB=

π

3

，圆心O在梯形内部．设∠DAO=θ，当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳泳池”．
（1）求梯形游泳池的面积S（百米²）关于θ的函数关系式（化到最简形式），并指明定义域；
（2）求当该游泳池为“最佳泳池”时tanθ的值．

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=θ，θ∈(0，

π

2

)，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．
（1）用θ表示S₁和S₂；
（2）当θ变化时，求

S1

S2

的最小值，及此时角θ的大小．

如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
（1）若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数并写出定义域；
（2）求出四边形OPDC面积的最大值，并写出面积取得最大值时的θ的值．

一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p₀）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？

如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d=BE，∠HPE=θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；
（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE=3米，问改造后的停车位增加了多少个？

江心洲有一块如图所示的江边，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取两点P，Q，用长度为1km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ（MP，MQ两边为围网）；方案2：在岸边OA，OB上分别取点E，F，用长度为1km的围网EF依托岸边围成三角形EOF．请分别计算△MPQ，△EOF面积的最大值，并比较哪个方案好．

如图，有一位于A处的雷达观察站发现其北偏东45°，与A相距20

2

海里的B处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A点北偏东45°+θ（其中cosθ=

5 26

26

），且与A相距5

13

海里的C处．
（1）求该船的行驶速度；
（2）在A处的正南方向20海里E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）．如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由．