为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即∠AOB=

3π

4

）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．
（1）求两站点A，B之间距离的最小值；
（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？

某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC=30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）
（1）若v=4，AB=2km．运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A处沿射线方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船．已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．

已知矩形ABCD所在的平面与地面垂直，点A在地面上，设AB=a（a＞0），BC=1，AB与地面成θ角（0＜θ＜

π

2

），如图所示，CE垂直地面，垂足为E，点B、D到CE的距离分别为h₁，h₂，记CE=h．
（1）若a=

3

，求h的最大值，并求此时的θ值；
（2）若h（h₁+h₂）的最大值为4，求a的值．

如图，在P地正西方向16km的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F．
（1）若在P处看E，F的视角∠EPF=45°，在B处看E测得∠ABE=45°，求AE，BF；
（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α，公路PF的毎千米建设成本为a万元，公路PE的毎千米建设成本为8a万元．为节省建设成本，试确定E，F的位置，使公路的总建设成本最小．

如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路（长度均超过

3

千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=

3

千米，AN=

3

千米．
（1）求线段MN的长度；
（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，单位圆O上存在两点A，B，满足∠AOB=

π

3

，AC，BD均与x轴垂直，设∠xOA=α（

π

6

＜α＜

π

2

），△AOC与△BOD的面积之和记为f（α）．
（1）若f（α）=

3

8

，求a的值；
（2）若对任意的a∈（

π

6

，

π

2

），存在x∈（-∞，0），使得f（α）≤x+

3

x

+18m成立，且实数m使得数列{a_n}为递增数列，其中a₁=0，a_n+1=-a_n²+a_n+m（n∈N^*），求实数m的取值范围．

某地一观光湖的边界是半圆形．已知直径AB长4km，O为圆心，C，D为圆周上两点，且点C靠近点A，CD∥AB，如图所示，现在准备建造一条观光路线A-C-D，其中A到C是圆弧

AC

，C到D是线段CD，设∠AOC=θrad．
（1）求观光路线长关于θ的函数关系式f（θ），并写出定义域；
（2）当θ为何值时，观光路线长度最大，最大值为多少？

如图，某人在离地面高度为15m的地方，测得电视塔底的俯角为30°，塔顶的仰角为62°，求电视塔的高，（精确到0.1m）

如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员在A处先看到山顶C的俯角为18°30'，经过150s后又在B处看到山顶C的俯角为81°
（1）求飞机在B处与山顶C的距离（精确到1m）；
（2）求山顶的海拔高度（精确到1m）参考数据：sin18.5≈0.32，cos18.5≈0.95，sin62.5≈0.89，cos62.5°≈0.46，sin81°≈0.99，cos81°≈0.16

如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为50

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km，从A到C，需先乘船至海岸公路BC上的登陆点D，船速为25km/h，再乘汽车至C，车速为50km/h，设∠BAD=θ．
（1）用从海岛A到C所用的时间f（θ），并指明θ的取值范围；
（2）登陆点D应选在何处，能使从A到C所用的时间最少？