已知函数f（x）=cos2x+2sinx，若对任意实数x，恒有f（α₁）≤f（x）≤f（α₂），则cos（α₁-α₂）=__________．

已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）图象上一个最高点P的横坐标为

1

3

，与P相邻的两个最低点分别为Q，R若△PQR是面积为4

3

的等边三角形，则函数解析式为y=__________

将函数y=sinx-

3

cosx的图象向左平移

π

3

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g(

5

6

π)=__________．

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g(

π

4

)=

2

，则f(

3π

8

)=__________．

已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度后所得的函数为偶函数，则φ的值为__________

将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移

π

6

个单位长度后得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈[-

π

6

，

π

12

]，f²（x）-mf（x）-1≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）-a在[0，nπ]上恰有2019个零点．

函数f(x)=cos(πx+φ)(0＜φ＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求出φ及图中x₀的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)+f(x+

1

3

)，求函数g（x）在区间[-

1

2

，

1

3

]上的最大值及取到最大值时x的值．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到函数g（x），当x∈[0，

π

2

]时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的值域．

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)：
（Ⅰ）若x∈[0，

π

4

]，求y=f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最高点为Q(

π

6

，3)．
（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．