某工厂为提高生产效率，开展了技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，工厂将80名工人随机分成两组，每组40人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下表格：

完成任务工作时间	（60，70]	（70，80]	（80，90]	（90，100]
甲种生产方式	4人	6人	20人	10人
乙种生产方式	10人	20人	8人	2人

（1）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入下面列联表：

产方式	工作时间		合计
	超过80min	不超过80min
甲
乙
合计

（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？
（3）若从完成生产任务所需的工作时间在（90，100]的工人中选取3人去参加培训，设x为选出的3人中采用乙种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.897	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E为BC的中点，F为边PC上的一个点．
（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成角的正切值的最大值为

6

2

，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

如图甲所示的正方形AA'A₁'A₁中，AA₁=12，AB=A₁B₁=3，BC=B₁C₁=4，对角线AA₁'分别交BB₁，CC₁于点P，Q，将正方形AA'A₁'A₁沿BB₁，CC₁折叠使得AA₁与A'A₁'重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）若点M在棱AC上，且AM=

15

7

，证明：BM∥平面APQ；
（2）求二面角A₁-PQ-A的余弦值．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABB₁为等边三角形，AB=BC=2，CA=CB₁，CA⊥CB₁．
（1）证明：平面CAB₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BB₁和平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

已知复数z=x+yi（x＞0，y＞0），其中i为虚数单位，且满足|z|=2，且

z

-1为纯虚数．
（1）求

3 +2i

z

；
（2）若复数z是关于x的方程x²+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，求实数m,n的值．

已知4kx²-4kx+k+1=0是关于x的实系数一元二次方程．
（1）若a是方程的一个复数根，且|a|=1，求实数k的值：
（2）若x₁，x₂，是方程的两个实数根，且

x1

x2

+

x2

x1

为整数，求整数k的所有可能值．

已知复数z=m²+m-2+（m-1）i（m∈R），其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m=2，设

z+i

z -i

=a+bi（a,b∈R），试求a+b的值．

已知复数z₁=m+i,z₂=2+mi,其中i是虚数单位，m∈R．
（1）若z₁⋅z₂为纯虚数，求m的值；
（2）若

z

2 1

-2z1+2=0，求

z2

z1

的虚部．

已知复数z=

5(1-i)

2-i

+(1+2i)2，i为虚数单位．
（1）求|z|；
（2）若复数ω=

1

3

z+2是关于x的方程x²+mx+n=0的一个根，求实数m,n的值．

已知复数z₁=1-2i（i为虚数单位）和z₂是关于x的方程x²-2x+p=0（p∈R）两根．
（1）求p和z₂；
（2）若z₂对应复平面内的点A，且△OAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数z₃．